Question

18．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)Q（1，a）到焦點(diǎn)的距離為3，
（1）求a，p的值；
（Ⅱ）設(shè)P為直線x=-1上除（-1，-$\sqrt{3}$），（-1，$\sqrt{3}$）兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)P作圓C₂：（x-2）²+y²=3的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點(diǎn)A，B和C，D，試判斷A，B，C，D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義即可得到$1+\frac{p}{2}=3$，求出p=4，從而焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），這便得到$\sqrt{1+{a}^{2}}=3$，從而可求出a的值；
（Ⅱ）可設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l方程為：y-y₀=k（x+1），聯(lián)立拋物線方程消去x便可得到ky²-8y+8y₀+8k=0，可設(shè)直線AB，CD的斜率分別為k₁，k₂，A，B，C，D四點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，y₃，y₄，從而可以得到${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{1}）}{{k}_{1}}，{y}_{3}{y}_{4}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{2}）}{{k}_{2}}$．可以求圓心C₂到切線l的距離，從而可以得到關(guān)于k的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到k₁+k₂=-y₀，這樣即可求得y₁y₂y₃y₄=64，即得出A，B，C，D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，Q（1，a）到準(zhǔn)線x=$-\frac{p}{2}$的距離為3；
∴$1+\frac{p}{2}=3$；
∴p=4；
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
∴$\sqrt{1+{a}^{2}}=3$；
∴$a=±2\sqrt{2}$；
（Ⅱ）設(shè)P（-1，y₀），過(guò)點(diǎn)P的直線方程設(shè)為l：y-y₀=k（x+1）；
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y-{y}_{0}=k（x+1）}\end{array}\right.$得，ky²-8y+8y₀+8k=0；
若直線AB，CD的斜率分別為k₁，k₂，設(shè)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，y₃，y₄；
∴${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{1}）}{{k}_{1}}，{y}_{3}{y}_{4}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{2}）}{{k}_{2}}$；
∵C₂到l的距離d=$\frac{|3k+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{3}$；
∴$6{k}^{2}+6{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-3=0$；
∴${k}_{1}+{k}_{2}=-{y}_{0}，{k}_{1}{k}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{6}$；
∴${y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}{y}_{4}=\frac{64[{k}_{1}{k}_{2}+（{k}_{1}+{k}_{2}）{y}_{0}+{{y}_{0}}^{2}]}{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{64（{k}_{1}{k}_{2}-{{y}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}{{k}_{1}{k}_{2}}=64$；
∴A，B，C，D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，兩點(diǎn)間距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，以及韋達(dá)定理，圓心到切線距離和圓半徑的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式．