Question

1．如圖，點(diǎn)E在直角三角形ABC的斜邊AB上，四邊形CDEF為正方形，已知正方形CDEF的面積等于36．設(shè)∠CAB=θ，直角三角形ABC的周長(zhǎng)L=12+$\frac{a（b+sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求L的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出AF=$\frac{6}{tanθ}$，AE=$\frac{6}{sinθ}$，DB=6tanθ，BE=$\frac{6}{cosθ}$，利用直角三角形ABC的周長(zhǎng)L=12+$\frac{a（b+sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$，即可求a，b的值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性求L的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵正方形CDEF的面積等于36，
∴EF=ED=6，
∴AF=$\frac{6}{tanθ}$，AE=$\frac{6}{sinθ}$，DB=6tanθ，BE=$\frac{6}{cosθ}$，
∴直角三角形ABC的周長(zhǎng)L=12+$\frac{6}{tanθ}$+$\frac{6}{sinθ}$+6tanθ+$\frac{6}{cosθ}$=12+$\frac{6（1+sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$，
∴a=6，b=1；
（Ⅱ）L′=$\frac{6（cosθ-sinθ）sinθcosθ-6（1+sinθ+cosθ）cos2θ}{（sinθcos{θ）}^{2}}$=0，
∴θ=45°，
0°＜θ＜45°，L′＜0，45°＜θ＜90°，L′＞0，
∴θ=45°，L的最小值為12（2+$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查求函數(shù)的解析式問題，是一道中檔題．