Question

5．如圖，已知棱長為1的正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對角線A₁C₁上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，若PQ=1，則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分別判斷四面體BDPQ在正方體六個(gè)面上的正投影的形狀，進(jìn)而求出四面體BDPQ在正方體六個(gè)面上的正投影的兩種，相加可得答案．

解答 解：四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度分別1和$\sqrt{2}$的四邊形，其面積為定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均為1的梯形，其面積為定值$\frac{\sqrt{2}}{4}$$+\frac{1}{2}$，
故四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+4×（$\frac{\sqrt{2}}{4}$$+\frac{1}{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平行投影，其中根據(jù)已知分析出四面體BDPQ在正方體六個(gè)面上的正投影的形狀，是解答的關(guān)鍵．