Question

17．若對(duì)于任意角θ∈R，總有sin²θ+2mcosθ+4m-1＜0成立，求m的范圍是（-∞，0）．

Answer 1

分析 分離參數(shù)得m＜$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$，令f（θ）=$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$，求出f_min（θ），則m＜f_min（θ）．

解答 解：∵sin²θ+2mcosθ+4m-1＜0，∴（2cosθ+4）m＜1-sin²θ=cos²θ，
∵2cosθ+4＞0，∴m＜$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$．
令f（θ）=$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{（cosθ+2）^{2}-4（cosθ+2）+4}{cosθ+2}$=$\frac{1}{2}$•[（cosθ+2）+$\frac{4}{cosθ+2}$-4]，
∵cosθ+2＞0，∴（cosθ+2）+$\frac{4}{cosθ+2}$-4≥2$\sqrt{4}$-4=0，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ+2=$\frac{4}{cosθ+2}$即cosθ=0時(shí)取等號(hào)．
∴f_min（θ）=0，
∵對(duì)于任意角θ∈R，總有sin²θ+2mcosθ+4m-1＜0成立，
∴m＜$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$恒成立，∴m＜0．
故答案為（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．