Question

20．圓C的方程為x²+y²=4，圓M的方程為（x-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，則 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$ 的最小值為（　�。�

• A． 12
• B． 10
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HB}$，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HB}$的值，即為所求．

解答 解：x²+y²=4的圓心C（0，0），半徑等于2，圓M（x-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，
圓心M（5cosθ，5sinθ），半徑等于1．
∵|CM|=$\sqrt{（5cosθ）^{2}+（5sinθ）^{2}}=5$＞2+1，故兩圓相離．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|•cos∠APB，
要使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$最小，需|$\overrightarrow{PA}$|和$|\overrightarrow{PB}|$最小，且∠APB最大，
如圖所示，設直線CM交圓C于H點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是|$\overrightarrow{HA}$|•|$\overrightarrow{HB}$|，
|HC|=|CM|-1=5-1=4，|HA|=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，sin∠CHA=$\frac{|CA|}{|CH|}=\frac{1}{2}$，
∴cos∠AHB=cos2∠CHA=1-2sin²∠CHA=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HB}$=|HA|•|HB|•cos∠AHB=$2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=6$，
故選：C．

點評 本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓的切線，兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，判斷$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$ 的最小值是$\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HB}$是解題的關(guān)鍵．考查分析解決問題的能力和運算能力，屬于中檔題．