Question

12．若函數(shù)f（x）=x-[x]，（其中[x]為不超過x的最大整數(shù)），g（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$（x-1），f（x）-g（x）=1的解的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x），得到函數(shù)的周期是1，作出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）+1的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，[x]=0，則f（x）=x-[x]=x
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，則f（x）=x-[x]=x-1，
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，則f（x）=x-[x]=x-2，
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，[x]=3，則f（x）=x-[x]=x-3，
當(dāng)4≤x＜5時(shí)，[x]=4，則f（x）=x-[x]=x-4，
當(dāng)5≤x＜6時(shí)，[x]=5，則f（x）=x-[x]=x-5，
此時(shí)f（x）∈[0，1），
而g（x）=-log₄（x-1）+1≤0，
即當(dāng)n≤x＜n+1，n≥6時(shí)，[x]=n，則f（x）=x-[x]=x-n∈[0，1），
而g（x）=-log₄（x-1）+1＜0，
由h（x）=f（x）-g（x）=1得f（x）=g（x）+1，
分別作出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）+1的圖象如圖：
則兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)[x]的定義，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．