Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．且左右頂點(diǎn)分別為A（一1，0）、B（1，0）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，|CF|=λ|DF|（|CF|＞|DF|），求λ的值；
（3）過P（-$\frac{5}{3}$，0）的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），記直線AM、AN 的斜率分別為k₁、k₂，問k₁與K₂的乘積是否為定值？若為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)橢圓方程x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，進(jìn)而利用離心率計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），進(jìn)而可知直線l方程y=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，通過聯(lián)立直線l與橢圓方程計(jì)算可知x=0或x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，進(jìn)而可知C（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$），利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過設(shè)過P（-$\frac{5}{3}$，0）交橢圓于M、N兩點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)）的直線方程為y=k（x+$\frac{5}{3}$），并與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可知x_M+x_N=-$\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}$，x_Mx_N=$\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵左右頂點(diǎn)分別為A（一1，0）、B（1，0），
∴橢圓方程為：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
又∵離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{1-^{2}}}{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b²=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1；
（2）由（1）可知F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∵直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴直線l方程為：y=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y整理可知：$3{x}^{2}=2\sqrt{2}x$，
解得：x=0或x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又∵|CF|＞|DF|，
∴C（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$），
∴|CF|=$\sqrt{（0-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（{-\frac{\sqrt{2}}{2}-0）}^{2}}$=1，|DF|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{6}-0）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴λ=$\frac{|CF|}{|DF|}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3；
（3）結(jié)論：k₁與k₂的乘積為定值2．
理由如下：
設(shè)過P（-$\frac{5}{3}$，0）交橢圓于M、N兩點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)）的直線斜率為k（k≠0），
則該直線方程為：y=k（x+$\frac{5}{3}$），與橢圓方程聯(lián)立，消去y可知：
（2k²+1）x²+$\frac{20{k}^{2}}{3}$x+$\frac{50{k}^{2}}{9}$-1=0，
∴x_M+x_N=-$\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}$，x_Mx_N=$\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{M}-0}{{x}_{M}+1}$•$\frac{{y}_{N}-0}{{x}_{N}+1}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{M}+\frac{5}{3}）（{x}_{N}+\frac{5}{3}）}{{x}_{M}{x}_{N}+（{x}_{M}+{x}_{N}）+1}$
=$\frac{{k}^{2}[\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}-\frac{5}{3}•\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}+\frac{25}{9}]}{\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}-\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}+1}$
=2．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．