Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別在棱PB，PC的中點，求AD與平面PAC所成的角的正弦值的大�。�

Answer 1

分析 以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出AD與平面PAC所成的角的正弦值．

解答 解：如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，
以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)PA=a，由已知可得$A（0，0，0），B（-\frac{a}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$，
$C（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0），P（0，0，a）$，$D（-\frac{a}{4}，\frac{{\sqrt{3}a}}{4}，\frac{a}{2}）$
$\overrightarrow{AP}=（0，0，a）$，$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{a}{2}$，0，0），
∵$\overrightarrow{AP}=（0，0，a），\overrightarrow{BC}=（\frac{a}{2}，0，0）$，∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AP}=0$，∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC．
∴平面PAC的一個法向量$\overrightarrow{BC}=（\frac{a}{2}，0，0）$，
設(shè)AD與平面PAC所成的角為α，∴$sinα=|{cos＜\overrightarrow{AD，}\overrightarrow{BC}＞}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
∴AD與平面PAC所成的角的正弦值是$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．