Question

【題目】已知圓：，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，是的軌跡上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn).求證直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，從而得點(diǎn)的軌跡為橢圓，即可求出方程；

（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，再由已知可得，利用和兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，整理出關(guān)系或求出為定值，即可求出結(jié)論.

（1）圓：，得圓心，半徑，

的垂直平分線交線段于點(diǎn)，

，

點(diǎn)的軌跡為橢圓，且焦點(diǎn)在軸，，

，

點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）依題意直線斜率存在，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，消去得，，

，

設(shè)，則，

以為直徑的圓過點(diǎn)，，

，

，

整理得，此時(shí)恒成立，

所以直線過定點(diǎn).