Question

【題目】設(shè)為數(shù)列的前項和，對任意的，都有（為正常數(shù)）.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用與之間的關(guān)系，對分兩種情況討論，時，求的值，時，利用得出與之間的關(guān)系，進(jìn)而利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）在（1）的條件下求出的值，然后根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結(jié)構(gòu)利用倒數(shù)法得到數(shù)列為等差數(shù)列，通過求處等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（3）利用（2）中數(shù)列的通項公式，并根據(jù)數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)選擇錯位相減法求數(shù)列的前項和.

試題解析：（1）證明：當(dāng)時，，解得． 1分

當(dāng)時，．即． 2分

又為常數(shù)，且，∴． 3分

∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 4分

（2） 5分 ∵，∴，即． 7分

∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列． 8分

∴，即． 9分

（3）由（2）知，則．

所以， 10分

即， ① 11分

則， ② 12分

②－①得， 13分

故． 14分