Question

4．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，例如解析式為y=2x²+1，值域?yàn)閧9}的“孿生函數(shù)”就有三個(gè)，那么解析式為y=log₂（x²-1），值域?yàn)閧1，5}的“孿生函數(shù)”共有（　�。�

• A． 6個(gè)
• B． 7個(gè)
• C． 8個(gè)
• D． 9個(gè)

Answer 1

分析 先確定函數(shù)的自變量是在集合{$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$}取其一，再在{$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$，$\sqrt{33}$}取其一合并而成，故有9中可能．

解答 解：根據(jù)題意，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）=log₂（x²-1）的值域?yàn)閧1，5}，
則對(duì)于各函數(shù)值考察如下：
①令log₂（x²-1）=1，解得x=±$\sqrt{3}$，
所以，函數(shù)的定義域中對(duì)于±$\sqrt{3}$有下列三種可能，
{$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$}；
②令log₂（x²-1）=5，解得x=±$\sqrt{33}$，
所以，函數(shù)的定義域中對(duì)于±$\sqrt{33}$有下列三種可能，
{$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$，$\sqrt{33}$}；
而函數(shù)f（x）的定義域是在①，②中各取一個(gè)集合，再取并集而構(gòu)成，
所以，有不同的抽取方法N=3×3=9種．
故答案為：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)值域的應(yīng)用，即根據(jù)函數(shù)的值域確定函數(shù)自變量取值的集合，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的解題思想，屬于中檔題．