Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）是2x與$\frac{2a}{x}$的平均值（x≠0．且x，a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域；
（2）若不等式f（2^x）＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{4}}}{1+{x}^{2}}$，是否存在正數(shù)a，使得對(duì)于區(qū)間[-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{5}}$]上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)m、n、p，都存在以f（g（m）、f（g（n））、f（g（p））為邊長(zhǎng)的三角形？若存在，試求出這樣的a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域；
（2）若不等式f（2^x）＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2^x）²+1+2^x在[0，1]上恒成立，令t=2^x，則t∈[1，2]，y=-2t²+t+1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）換元，原問題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得函數(shù)在給定的區(qū)間上，恒有2y_min＞y_max

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是2x與$\frac{2a}{x}$的平均值，
∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上為減函數(shù)，在[1，2]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，或x=2時(shí)，函數(shù)最最大值$\frac{5}{2}$，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值2，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域?yàn)閇2，$\frac{5}{2}$]；
（2）若不等式f（2^x）＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，
即2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，
即a＜-2（2^x）²+1+2^x在[0，1]上恒成立，
令t=2^x，則t∈[1，2]，y=-2t²+t+1，
由y=-2t²+t+1的圖象是開口朝下，且以直線t=$\frac{1}{4}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=2，即x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-5，
故a＜-5；
（3）設(shè)t=g（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{4}}}{1+{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{1-x}^{2}}{1+{x}^{2}}}$，
∵x∈[-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{5}}$]，
∴t∈[$\frac{1}{3}$，1]，
則y=t+$\frac{a}{t}$；
原問題轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得y在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上，恒有2y_min＞y_max．
討論：①當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{9}$時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，1]上遞增，
∴y_min=3a+$\frac{1}{3}$，y_max=a+1，
由2y_min＞y_max得a＞$\frac{1}{15}$，
∴$\frac{1}{15}$＜a≤$\frac{1}{9}$；
②當(dāng)$\frac{1}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，$\sqrt{a}$]上單調(diào)遞減，在[$\sqrt{a}$，1]上單調(diào)遞增，
∴y_min=2$\sqrt{a}$，y_max=max{3a+$\frac{1}{3}$，a+1}=a+1，
由2y_min＞y_max得7-4$\sqrt{3}$＜a＜7+4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$；
③當(dāng)$\frac{1}{3}$＜a＜1時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，$\sqrt{a}$]上單調(diào)遞減，在[$\sqrt{a}$，1]上單調(diào)遞增，
∴y_min=2$\sqrt{a}$，y_max=max{3a+$\frac{1}{3}$，a+1}=3a+$\frac{1}{3}$，
由2y_min＞y_max得$\frac{7-4\sqrt{3}}{9}$＜a＜$\frac{7+4\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{1}{3}$＜a＜1；
④當(dāng)a≥1時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，1]上單調(diào)遞減，
∴y_min=a+1，y_max=3a+$\frac{1}{3}$，
由2y_min＞y_max得a＜$\frac{5}{3}$，
∴1≤a＜$\frac{5}{3}$；
綜上，a的取值范圍是{a|$\frac{1}{15}$＜a＜$\frac{5}{3}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與求最值的應(yīng)用問題，是難題．