Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，且，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，則向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，設$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow$=（0，y）．（x＞0，y＞0）．又|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，可得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2|x|，解得y=$\sqrt{3}x$．再利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴設$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow$=（0，y）．（x＞0，y＞0）．
又|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2|x|，
解得y=$\sqrt{3}x$．
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow$=-3x²，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=2x，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{3}$x．
設向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為θ．
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow|}$=$\frac{3{x}^{2}}{2x•\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．