Question

2．若9x²-6ax+a²-2a-6≥0在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{5}$]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=9x²-6ax+a²-2a-6，原不等式可化為f（x）≥0，不等式在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$內(nèi)恒成立，即f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$內(nèi)的最小值滿足條件即可．求出對(duì)稱軸，對(duì)區(qū)間和對(duì)稱軸的位置討論，結(jié)合單調(diào)性，解不等式可得a的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=9x²-6ax+a²-2a-6，
原不等式可化為f（x）≥0，不等式在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$內(nèi)恒成立，
即f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$內(nèi)的最小值≥0成立即可．
由于二次項(xiàng)的系數(shù)為9＞0，所以f（x）是開口向上的二次函數(shù)，
其對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{3}$a，所以要對(duì)對(duì)稱軸的分布分別討論．
①當(dāng)$\frac{1}{3}$a≤-$\frac{1}{3}$，即a≤-1時(shí)，f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的最小值為
f（-$\frac{1}{3}$）=1+2a+a²-2a-6=a²-5，
由a²-5≥0得a≥$\sqrt{5}$（舍去）或a≤-$\sqrt{5}$．
即a≤-$\sqrt{5}$；
②當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{3}$a＜$\frac{1}{3}$，即-1＜a＜1時(shí)，f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上的最小值為
f（$\frac{1}{3}$a）=-2a-6，
由-2a-6≥0解得a≤-3（舍去）；
③當(dāng)$\frac{1}{3}$a≥$\frac{1}{3}$，即a≥1時(shí)，f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上的最小值為
f（$\frac{1}{3}$）=1-2a+a²-2a-6=a²-4a-5=（a-5）（ a+1），
由（a-5）x（ a+1）≥0得a≤-1（舍去）a≥5，即a≥5．
綜合①②③可得a的取值范圍為a≤-$\sqrt{5}$或a≥5．
故答案為：（-∞，-$\sqrt{5}$]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．