Question

16．一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分截下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐）形容器．
（1）試把容器的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）若x=6，
①求圖2的主視圖的面積；
②求異面直線EB與DC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，取BC中點(diǎn)F，連結(jié)OF、EF，在等腰△EB中中，BC=x，高EF=5，由此求出四棱錐E-ABCD高EO和${S}_{正方形ABCD}={x}^{2}$，從而能把容器的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）由x=6，得到OF=3，EO=4，由此能求出主視圖的面積．
（3）由AB∥DC，得∠EBA是異面直線EB與DC所成角，再由∠EBF=∠EBA，能求出異面直線EB與DC所成角的正切值．

解答 解：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，取BC中點(diǎn)F，連結(jié)OF、EF，
在等腰△EB中，BC=x，高EF=5，
∴四棱錐E-ABCD高EO=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{25-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$，
${S}_{正方形ABCD}={x}^{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×EO$=$\frac{1}{3}{x}^{2}•\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$=$\frac{1}{6}{x}^{2}\sqrt{100-{x}^{2}}$．
（2）∵x=6，∴OF=3，EO=$\frac{\sqrt{100-36}}{2}$=4，
∴主視圖的面積S=2S_△EOF=2×$\frac{1}{2}$×EO×OF=4×3=12（cm²）．
（3）∵AB∥DC，∴∠EBA是異面直線EB與DC所成角，
∵∠EBF=∠EBA，EF⊥BF，EF=5，BF=3，
∴tan∠EBA=tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{5}{3}$，
∴異面直線EB與DC所成角的正切值為$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)式的求法，考查主視圖的面積的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．