Question

1．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{co{s}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，分母不為0，列出不等式求出解集即可；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，利用三角函數(shù)的有界性，求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（$\frac{co{s}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx），
∴sinx+1≠0，
即sinx≠-1，
解得x≠π+2kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠π+2kπ，k∈Z}；
（2）∵函數(shù)f（x）=（$\frac{co{s}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx）
=（$\frac{1{-sin}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx）
=（1-sinx-1）（sinx-cosx）
=-sin²x+sinxcosx
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
且-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1≤f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求函數(shù)的定義域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．