Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則下列大小關(guān)系正確的是（　�。�

• A． f（e）＜f（3）＜f（2）
• B． f（e）＜f（2）＜f（3）
• C． f（2）＜f（3）＜f（e）
• D． f（3）＜f（2）＜f（e）

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$取最小值$\frac{1}{e}$，再作差由對數(shù)的性質(zhì)可得f（2）和f（3）的大小即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$取最大值$\frac{1}{e}$，
又f（2）=$\frac{ln2}{2}$=$\frac{3ln2}{6}$=$\frac{ln{2}^{3}}{6}$=$\frac{ln8}{6}$，
f（3）=$\frac{ln3}{3}$=$\frac{2ln3}{6}$=$\frac{ln{3}^{2}}{6}$=$\frac{ln9}{6}$＞$\frac{ln8}{6}$，
∴f（2）＜f（3）＜f（e），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)法比較大小，涉及作差法和對數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．