Question

2．如圖，已知F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1）為橢圓Γ：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，過F₁作兩條傾斜角互補的直線l₁，l₂，l₁，l₂分別與橢圓Γ相交于A，B，C，D四點，且△ABF₂的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）求陰影部分S的最大值；
（Ⅲ）求證：直線AD與直線BC的交點是定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的定義，可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₂|+|BF₁|=2a，可得4a=8，解得a=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx-1與橢圓的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，y₁），D（-x₂，y₂），代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理，再由基本不等式即可得到S的最大值；
（Ⅲ）依題意可知AD與BC的交點在y軸上，求出直線BC：$\frac{y-{y}_{2}}{x-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，令x=0，代入韋達定理，化簡整理，可得y=-4，即可得到定點．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知|AF₂|+|BF₂|+|AB|=8，
由橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₂|+|BF₁|=2a，
可得4a=8，解得a=2，
又c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx-1與橢圓的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，y₁），D（-x₂，y₂），
根據(jù)對稱性，不妨設(shè)k＞0，x₁＜0＜x₂，y₂＞y₁，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{3{y}^{2}+4{x}^{2}=12}\end{array}\right.$得：（4+3k²）x²-6kx-9=0，
得△=36k²+36（3k²+4）＞0，x₁+x₂=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
S=2${S}_{△A{F}_{2}D}$=2•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁|•$\frac{|-k{x}_{2}-{y}_{2}-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=2|k|•|x₁x₂|=$\frac{18|k|}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{18}{3|k|+\frac{4}{|k|}}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
當且僅當|3k|=$\frac{4}{|k|}$，即k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，取到最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅲ）證明：依題意可知AD與BC的交點在y軸上，
直線BC：$\frac{y-{y}_{2}}{x-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，令x=0，
得y=$\frac{-{x}_{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$+y₂=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
代入x₁+x₂=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
可得y=-4，
所以直線AD與BC的交點為（0，-4）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用定義法，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及基本不等式，考查直線恒過定點的問題的解法，注意運用直線方程，屬于中檔題．