Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}sin2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosφ-2ρsinφ-4=0．
（1）求曲線C₁與直線C₂的普通方程；
（2）求曲線C₁上的點(diǎn)到直線C₂的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數(shù)方程，則x²=1+2sinθcosθ=1+sin2θ，與$y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}sin2θ$聯(lián)立即可得出．由直線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosφ-2ρsinφ-4=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosφ}\\{y=ρsinφ}\end{array}\right.$可得直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P$（x，\frac{{x}^{2}}{4}）$為曲線C₁上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線C₂的距離d=$\frac{（x-1）^{2}+7}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}sin2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），則x²=1+2sinθcosθ=1+sin2θ，∴x²=4y．
直線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosφ-2ρsinφ-4=0，可得直角坐標(biāo)方程：x-2y-4=0．
（2）設(shè)P$（x，\frac{{x}^{2}}{4}）$為曲線C₁上的任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)P到直線C₂的距離d=$\frac{|x-\frac{{x}^{2}}{2}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（x-1）^{2}+7}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，即取點(diǎn)P$（1，\frac{1}{4}）$時(shí)取等號(hào)．
∴曲線C₁上的點(diǎn)到直線C₂的距離的最小值為$\frac{7\sqrt{5}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．