Question

15．已知2sina+cosa=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，則tan2a=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，化為切函數(shù)，求出tana的值，代入倍角公式得答案．

解答 解：由2sina+cosa=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，得
$（2sina+cosa）^{2}=\frac{5}{2}$，即$4si{n}^{2}a+4sinacosa+co{s}^{2}a=\frac{5}{2}$．
∴$\frac{4si{n}^{2}a+4sinacosa+co{s}^{2}a}{si{n}^{2}a+co{s}^{2}a}=\frac{5}{2}$，
∴$\frac{4ta{n}^{2}a+4tana+1}{ta{n}^{2}a+1}=\frac{5}{2}$．
則3tan²a+8tana-3=0．
解得：tana=-3或tana=$\frac{1}{3}$．
當(dāng)tana=-3時，tan2a=$\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a}$=$\frac{3}{4}$；
當(dāng)tana=$\frac{1}{3}$時，tan2a=$\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a}$=$\frac{3}{4}$．
綜上，tan2a=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡與求值，考查了計(jì)算能力，是中檔題．