Question

3．若函數(shù)f（x）=-x（x-a）在[-1，a]上的最大值為a，求實(shí)數(shù)a．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱軸與a的大小關(guān)系討論f（x）在[-1，a]上的單調(diào)性，列出方程解出a．

解答 解：f（x）的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
（1）若a＞0，則0＜$\frac{a}{2}＜a$，∴f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，a]上是減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（$\frac{a}{2}$）=a，即（$\frac{a}{2}$）²=a，解得a=2．
（2）若a=0，則f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴f_max（x）=f（0）=0，即0=0，恒成立．
（3）若a＜0，則a＜$\frac{a}{2}$＜0，∴f（x）在[-1，a]上是增函數(shù)，
∴f_max（x）=f（a）=a，即0=a，無(wú)解．
綜上，a=2或a=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系是關(guān)鍵．