Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+1滿足f（-x）=f（x+1），若存在實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為3．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得b=-1，f（x）=x²-x+1，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，即為（x+t）²-（x+t）+1≤x，即有（x+t-1）²≤-t，（t≤0），由二次不等式的解法和恒成立思想，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，可得m的范圍，即可得到最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+bx+1滿足f（-x）=f（x+1），
即有對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
即為-$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$，解得b=-1，
f（x）=x²-x+1，
對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，
即為（x+t）²-（x+t）+1≤x，
即有（x+t-1）²≤-t，（t≤0）
即有1-t-$\sqrt{-t}$≤x≤1-t+$\sqrt{-t}$，
由題意可得1-t+$\sqrt{-t}$≥m，且1-t-$\sqrt{-t}$≤1，
解得-1≤t≤0，
由1-t+$\sqrt{-t}$=（$\sqrt{-t}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，可得最大值為1+1+1=3，
即有m≤3，可得m的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，考查二次不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．