Question

16．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）的所有x之各為-8．

Answer 1

分析 f（x）為偶函數(shù)⇒f（-x）=f（x），x＞0時f（x）是單調(diào)函數(shù)⇒f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）則a=b或a=-b．

解答 解：∵f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時f（x）是單調(diào)函數(shù)
∴若f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）時，必有x=$\frac{x+3}{x+4}$或-x=$\frac{x+3}{x+4}$，
整理得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
所以x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5．
∴滿足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）的所有x之和為-3+（-5）=-8，
故答案為：-8．

點(diǎn)評 本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決此類題型要注意：（1）變換自變量與函數(shù)值的關(guān)系：①奇偶性：f（-x）=f（x）；②增函數(shù)x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；減函數(shù)x₁＜x₂?f（x₁）＞f（x₂）．（2）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法．