Question

3．已知：如圖（1），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（4，2），頂點為T（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{8}$）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）如圖（2），點A關于直線x=-$\frac{2a}$的對稱點為點B，連接OA、OB、OT、BT．
①求△OBT的面積；
②試探索OA與OB之間的數(shù)量關系與位置關系．
（3）如圖（3），P為直線x=-$\frac{2a}$上的一動點，Q為x軸上一動點，試判斷是否存在這樣的點P和點Q，使得以B、0、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形（B點為（2）中的點）．若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}16a+4b+c=2\\-\frac{2a}=\frac{3}{2}\\ \frac{4ac-^{2}}{4a}=-\frac{9}{8}\end{array}\right.$，解得a，b，c的值，可得函數(shù)解析式；
（2）①求出直線BT與y軸交點的坐標，利用割補法，可得△OBT的面積；
②利用兩點之間距離公式，求出OA，OB，OC可得OA與OB之間的數(shù)量關系，再由勾股定理可得OA與OB之間的位置關系；
（3）令BP∥x軸，可得滿足條件的P，Q點的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（4，2），頂點為T（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{8}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}16a+4b+c=2\\-\frac{2a}=\frac{3}{2}\\ \frac{4ac-^{2}}{4a}=-\frac{9}{8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=0\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x；
（2）①點A關于直線x=$\frac{3}{2}$的對稱點為點B（-1，2），
設直線BT的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}-k+b=2\\ \frac{3}{2}k+b=-\frac{9}{8}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{5}{4}\\ b=\frac{3}{4}\end{array}\right.$
∴直線BT的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x+$\frac{3}{4}$．
設直線BT與y軸交點為M（0，$\frac{3}{4}$），
則△OBT的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×（$\frac{3}{2}$+1）=$\frac{15}{16}$；
②由兩點之間距離公式可得：
OA=2$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴OA=2OB；
且AB²=OA²+OB²，即OA⊥OB；
（3）當P（$\frac{3}{2}$，2），Q（±$\frac{5}{2}$，0）時，
或當P（$\frac{3}{2}$，-2），Q（$\frac{1}{2}$，0）時，以B、0、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．