分析 根據(jù)二項(xiàng)式${({x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}})^6}$展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù),得出a的值;
再計(jì)算$\lim_{n→∞}({1+a+{a^2}+…+{a^n}})$的值.
解答 解:∵二項(xiàng)式${({x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}})^6}$展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為
Tr+1=${C}_{6}^{r}$•x6-r•${(-\frac{a}{\root{3}{x}})}^{r}$=(-a)r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{4}{3}r}$,
令6-$\frac{4}{3}$r=2,
解得r=3;
∴展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為
(-a)3•${C}_{6}^{3}$=$\frac{5}{2}$,
解得a=-$\frac{1}{2}$;
∴$\lim_{n→∞}({1+a+{a^2}+…+{a^n}})$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1{-(-\frac{1}{2})}^{n+1}}{1-(-\frac{1}{2})}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$.
故答案為:$\frac{2}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問(wèn)題以及極限的計(jì)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | |x|>|y| | B. | x2>y2 | C. | $\sqrt{x}>\sqrt{y}$ | D. | x3>y3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | “p∨q為真”是“p∧q為真”的充分不必要條件 | |
B. | 若數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的方差為1,則2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差為2 | |
C. | 命題“存在x∈R,x2+x+2015>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+2015<0” | |
D. | 在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“sinx+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$”發(fā)生的概率為$\frac{1}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | 12 | B. | 8 | C. | 4 | D. | 10 |
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A. | 5 | B. | 6 | C. | 9 | D. | 10 |
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