Question

14．若二項式${（{x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}}）^6}$展開式中含x²項的系數(shù)為$\frac{5}{2}$，則$\lim_{n→∞}（{1+a+{a^2}+…+{a^n}}）$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項式${（{x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}}）^6}$展開式的通項公式求出展開式中含x²項的系數(shù)，得出a的值；
再計算$\lim_{n→∞}（{1+a+{a^2}+…+{a^n}}）$的值．

解答 解：∵二項式${（{x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}}）^6}$展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{a}{\root{3}{x}}）}^{r}$=（-a）^r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{4}{3}r}$，
令6-$\frac{4}{3}$r=2，
解得r=3；
∴展開式中含x²項的系數(shù)為
（-a）³•${C}_{6}^{3}$=$\frac{5}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
∴$\lim_{n→∞}（{1+a+{a^2}+…+{a^n}}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1{-（-\frac{1}{2}）}^{n+1}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了數(shù)列求和的應用問題以及極限的計算問題，是基礎(chǔ)題目．