14.若二項(xiàng)式${({x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}})^6}$展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為$\frac{5}{2}$,則$\lim_{n→∞}({1+a+{a^2}+…+{a^n}})$=$\frac{2}{3}$.

分析 根據(jù)二項(xiàng)式${({x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}})^6}$展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù),得出a的值;
再計(jì)算$\lim_{n→∞}({1+a+{a^2}+…+{a^n}})$的值.

解答 解:∵二項(xiàng)式${({x-\frac{a}{{\root{3}{x}}}})^6}$展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為
Tr+1=${C}_{6}^{r}$•x6-r•${(-\frac{a}{\root{3}{x}})}^{r}$=(-a)r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{4}{3}r}$,
令6-$\frac{4}{3}$r=2,
解得r=3;
∴展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為
(-a)3•${C}_{6}^{3}$=$\frac{5}{2}$,
解得a=-$\frac{1}{2}$;
∴$\lim_{n→∞}({1+a+{a^2}+…+{a^n}})$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1{-(-\frac{1}{2})}^{n+1}}{1-(-\frac{1}{2})}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$.
故答案為:$\frac{2}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問(wèn)題以及極限的計(jì)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.

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