Question

16．定義在R上的函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+2．（a為常數(shù)）
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求函數(shù)在R上的最小值．

Answer 1

分析 （1）分兩類討論，①當a=0時，f（x）為偶函數(shù)；②當a≠0時，f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（2）先將函數(shù)表示為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}-a，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}+a，x＜a}\end{array}\right.$，再結合二次函數(shù)的圖象和性質，得出f（x）的單調區(qū)間，從而確定f（x）的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+2的奇偶性，需要分下列兩類討論：
①當a=0時，函數(shù)f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），
所以，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a）且f（a）≠-f（-a），
所以，函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}-a，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}+a，x＜a}\end{array}\right.$，函數(shù)的最小值需分三類討論如下：
①當a＞$\frac{1}{2}$時，結合二次函數(shù)的圖象得出f（x）的單調區(qū)間為：
f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）單調遞減，在（$\frac{1}{2}$，a）單調遞增，（a，+∞）單調遞增，
所以，僅當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$+a；
②當-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，a）單調遞減，在（a，+∞）單調遞增，
所以，f（x）_min=f（a）=a²+2；
③當a＜-$\frac{1}{2}$時，結合二次函數(shù)的圖象得出f（x）的單調區(qū)間為：
f（x）在（-∞，a）單調遞減，在（a，-$\frac{1}{2}$）單調遞減，（-$\frac{1}{2}$，+∞）單調遞增，
所以，僅當x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$-a；
綜合以上討論得，函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{4}+a，a＞\frac{1}{2}}\\{a^2+2，-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}}\\{\frac{7}{4}-a，a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和證明，并充分利用二次函數(shù)的圖象和性質判斷分段函數(shù)的單調區(qū)間和最值，體現(xiàn)了分類討論與數(shù)形結合的解題思想，屬于難題．