Question

10．經(jīng)過函數(shù)$y=\frac{1}{x}$上一點M引切線l與x軸、y軸分別交于點A和點B，O為坐標原點，記△OAB的面積為S，則S=2．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀）為$y=\frac{1}{x}$上任一點，過點P作曲線C的切線l，利用導數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標軸交于A，B兩點的坐標，繼而可求△OAB的面積．

解答 解：設P（x₀，y₀）為$y=\frac{1}{x}$上任一點，則y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$．
∵y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，設過$y=\frac{1}{x}$上一點P的切線l的斜率為k，
則k=-$\frac{1}{{x}_{{0}^{2}}}$，
∴切線l的方程為：y-y₀=-$\frac{1}{{x}_{{0}^{2}}}$（x-x₀），
∴當x=0時，y=$\frac{1}{{x}_{0}}$+y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$，即B（0，$\frac{2}{{x}_{0}}$）；
當y=0時，x=y₀•x₀²+x₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．
故答案為：2

點評 本題考查利用導數(shù)求過$y=\frac{1}{x}$上一點P的切線l的斜率，考查直線的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．