Question

5．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求EC與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，根據(jù)定義可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角．
（2）利用（1），說(shuō)明EC與平面PBC所成角就是∠PAG-∠ECF（二面角與直線與平面所成角的差），然后利用解三角形求解即可．

解答 解：（1）連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，
則EO是△PDB的中位線，
取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，
則EF是△PAD的中位線，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位線，
∴FO∥AB，F(xiàn)O⊥AC由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．
又FO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$PA=EF
∴∠EOF=45°，故所求二面角E-AC-D的大小為45°．
（2）在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
EF⊥平面ABCD，G為BC的中點(diǎn)，AG⊥BC，平面EFC∥平面PAG，并且BC⊥平面PAG，EC與平面PBC所成角為θ，就是θ=∠PAG-∠ECF，AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，可得AG=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PA=2，EF=1，EC=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，PG=$\sqrt{4+\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cosθ=$\frac{（{\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{5}{3\sqrt{3}}$．
EC與平面PBC所成角的正弦值：sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及二面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．