Question

19．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）經過點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），且原點、焦點，短軸的端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B．且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由原點、焦點，短軸的端點構成等腰直角三角形，可得b=c．由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）經過點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}$=1，與a²=b²+c²聯(lián)立即可得出．
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B．且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．設圓的方程為：x²+y²=r²，（0＜r＜2）．設圓的切線為y=kx+m，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，利用根與系數(shù)的關系及其$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．化簡整理即可得出．

解答 解：（1）∵原點、焦點，短軸的端點構成等腰直角三角形，∴b=c，
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）經過點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}$=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b=c=2，a²=8．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B．且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．
設圓的方程為：x²+y²=r²，（0＜r＜2）．
設圓的切線為y=kx+m，則$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△≥0，可得：9k²+4≥m²．
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
∴（1+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²=0，
化為：3m²=8+8k²，與$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r聯(lián)立，
可得r²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{8（1+{k}^{2}）}{3（1+{k}^{2}）}$=$\frac{8}{3}$＜4，
因此假設成立，存在圓心在原點的圓，方程為x²+y²=$\frac{8}{3}$，使得該圓的任意一條切線（切線斜率存在）與橢圓C恒有兩個交點A，B，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、直線與圓相切性質、點到直線的距離公式、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．