Question

9．已知冪函數(shù)f（x）=（k²+k-1）x^{（2-k）（1+k）}在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在整數(shù)m，使函數(shù)g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在區(qū)間[0，1]上的最大值為5，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性，可得（2-k）（1+k）＞0，又k²+k-1=1，即可得到k的值和f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，討論m的符號，結合二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關系，運用單調(diào)性，解方程可得m的值．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=（k²+k-1）x^{（2-k）（1+k）}在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
可得（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又k²+k-1=1，可得k=-2或1，
即有k=1，冪函數(shù)f（x）=x²；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx²+（2m-1）x+1，
當m=0時，g（x）=1-x在[0，1]遞減，
可得g（0）取得最大值，且為1，不成立；
當m＜0時，g（x）圖象開口向上，最大值在g（0）或g（1）處取得，
而g（0）=1，則g（1）=5，即為m=5，不成立；
當m＞0，即-m＜0，g（x）=-m（x-$\frac{2m-1}{2m}$）²+$\frac{1+4{m}^{2}}{4m}$．
①當$\frac{2m-1}{2m}$≤0，m＞0時，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$，
則g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，因此在x=0處取得最大值，
而g（0）=1≠5不符合要求，應舍去；
②當$\frac{2m-1}{2m}$≥1，m＞0時，解得m不存在；
③當0＜$\frac{2m-1}{2m}$＜1，m＞0時，解得m＞$\frac{1}{2}$，
則g（x）在x=$\frac{2m-1}{2m}$處取得最小值，最大值在x=0或1處取得，
而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即m=5，滿足m的范圍．
綜上可知：滿足條件的m存在且m=5．

點評 本題考查冪函數(shù)的定義和單調(diào)性的運用，考查函數(shù)的最值的求法，熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關鍵．