Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長均相等，且∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，則AB₁與底面ABC所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作A₁H⊥平面ABC，H為垂足，以H為原點(diǎn)，過H作DB的平行線為x軸，HD為y軸，HA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AB₁與底面ABC所成角的正弦值．

解答 解：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，
∴A₁A在平面ABC內(nèi)的射影是∠BAC的角平分線
作A₁H⊥平面ABC，延長AH交BC于D
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長均相等，設(shè)棱長為1，
則△ABC是邊長為1的等邊三角形，∴AD⊥BC
∵A₁H⊥BC，AD∩A₁H=H，∴BC⊥平面AA₁H
∵AA₁?平面AA₁H，
∴AA₁⊥BC，結(jié)合AA₁∥BB₁，得BB₁⊥BC
∴四邊形BB₁C₁C是矩形，
以H為原點(diǎn)，過H作DB的平行線為x軸，HD為y軸，HA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
連結(jié)BA₁、CA₁，得A₁-ABC是正四面體，則H是△ABC的重心，
∴AH=$\frac{2}{3}\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，${{A}_{1}H}^{\;}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BD=$\frac{1}{2}$，DH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)AB₁與底面ABC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴AB₁與底面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與底面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．