Question

1．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=m+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=4+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
（1）求曲線C與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲線C的普通方程，消去直線l中的參數(shù)，能求出直線l的普通方程．．
（2）求出圓心C（0，m）到直線l：2x-y+2=0的距離d，再由勾股定理結(jié)合弦長能求出m．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=m+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程：x²+（y-m）²=1，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=4+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得直線l的普通方程為：2x-y+2=0．
（2）∵曲線C：x²+（y-m）²=1是以C（0，m）為圓心，以1為半徑的圓，
圓心C（0，m）到直線l：2x-y+2=0的距離：d=$\frac{|0-m+2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|m-2|，
又直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴2$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}|m-2|）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
解得m=1或m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、普通方程的互化，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理的合理運(yùn)用．