15.設(shè)($\frac{\sqrt{2}}{2}$+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與離心率分別為$\frac{2}{5}$a3與$\frac{1}{6}$a5
(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),與橢圓同一平面上的點(diǎn)M滿(mǎn)足:$\overrightarrow{MP}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$,$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{PM}$=0,求|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的值.

分析 (1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得a3,a5的值,從而得到橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)及離心率,進(jìn)一步求得b,則橢圓方程可求;
(2)由向量等式可得|PF1|=3|PF2|,結(jié)合橢圓定義可得$|P{F}_{1}|=\frac{3\sqrt{2}}{2},|P{F}_{2}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$.再設(shè)出P的坐標(biāo),利用焦半徑公式求得p的坐標(biāo),然后求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐標(biāo),再利用向量模的公式求得答案.

解答 解:(1)由($\frac{\sqrt{2}}{2}$+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,
可知a3為展開(kāi)式中x3的系數(shù),a5為x5的系數(shù).
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{6-r}{x}^{r}$,得${a}_{3}={C}_{6}^{3}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}=5\sqrt{2}$,${a}_{5}={C}_{6}^{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$.
∴2a=$\frac{2}{5}$a3=$2\sqrt{2}$,$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,則$a=\sqrt{2},c=1$,
∴b2=a2-c2=1,
則橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)如圖,由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{PM}$=0,得$\overrightarrow{{F}_{1}M}•(\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{PM})=0$.
即$(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{P{F}_{1}})•(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{P{F}_{1}})=0$,∴$|\overrightarrow{PM}{|}^{2}=|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}$,則|PM|=|PF1|.
∵$\overrightarrow{MP}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$,∴$|\overrightarrow{MP}|=3|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$,則|MP|=3|PF2|,
∴|PF1|=3|PF2|,
又$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2\sqrt{2}$,
∴$|P{F}_{1}|=\frac{3\sqrt{2}}{2},|P{F}_{2}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
設(shè)P(x0,y0),
由焦半徑公式可得:$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴x0=1,則${y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$.
不妨取P(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),則$\overrightarrow{P{F}_{1}}=(-2,-\frac{\sqrt{2}}{2}),\overrightarrow{P{F}_{2}}=(0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}=(-2,-\sqrt{2})$,
則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\sqrt{(-2)^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是中檔題.

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(Ⅰ)將動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
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②直線(xiàn)AM與BN是平行直線(xiàn);
③直線(xiàn)BN與MB1是異面直線(xiàn);
④直線(xiàn)AM與DD1是異面直線(xiàn).
其中正確的結(jié)論為(  )
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