Question

20．如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=1，AA₁=2，點D在側棱AA₁上，點G，H分別是△ABC，△BCD的重心．
（1）求證：GH∥AD；
（2）當AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點E，連接AE，DE，根據重心的定義和性質，可得GH：HE=AG：GE=2：1，再由平行線分線段成比例定理的逆定理得到結論；
（2）根據AB=1，依次計算AE，AG，GH，AD的長度，可得答案．

解答 證明：（1）取BC的中點E，連接AE，DE，
∵點G，H分別是△ABC，△BCD的重心．
∴G在AE上，H在DE上，
且GH：HE=AG：GE=2：1，
∴GH∥AD；
（2）∵AB=1，
∴AE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AG=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=33，
又∵AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GH=$\sqrt{{AH}^{2}-{AG}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
∴AD=3GH=$\frac{\sqrt{15}}{2}$

點評 本題考查的知識點是三角形的五心，平行線分線段成比例定理的逆定理，勾股定理，難度中檔．