Question

7．在極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P（p，θ）運(yùn)動(dòng)時(shí)，ρ與sin（θ+$\frac{π}{4}$）成正比，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C經(jīng)過點(diǎn)（2，0），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交得到的弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得ρ=ksin（θ+$\frac{π}{4}$），代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得k值，可得曲線的極坐標(biāo)方程，結(jié)合ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ求得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）化直線的參數(shù)方程為普通方程，結(jié)合弦長(zhǎng)及圓的半徑求出圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，ρ=ksin（θ+$\frac{π}{4}$），
把點(diǎn)（2，0）代入得：$2=ksin\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}k$，∴k=2$\sqrt{2}$．
則$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
化為直角坐標(biāo)方程：即${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρ（sinθ•cos\frac{π}{4}+cosθ•sin\frac{π}{4}）$．
∴x²+y²=2y-2x．
即（x+1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得x-2y-m+4=0．
∵直線l與圓C相交得到的弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴圓心到直線的距離為d=$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{30}}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
則$\frac{|-1+2-m+4|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得：m=3或m=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了直線的參數(shù)方程，訓(xùn)練了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．