Question

9．某網站用“10分制”調查一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名，如圖莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：

若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸�！保�
（1）從這16人中隨機選取3人，記X表示抽到“極幸�！钡娜藬�(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望，并求出至多有1人是“極幸�！钡母怕剩�
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸�！钡娜藬�(shù)，求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得X的可能取值為0、1、2、3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學期望，并能求出至多有1人是“極幸�！钡母怕剩�
（2）依題意知，隨機變量ξ滿足二項分布ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出數(shù)學期望E（ξ）．

解答 解：（1）由已知得X的可能取值為0、1、2、3，…（1分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{11}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{33}{70}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{9}{70}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{140}$，…（3分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$

…（4分）
數(shù)學期望E（X）=$0×\frac{11}{28}+1×\frac{33}{70}+2×\frac{9}{70}+3×\frac{1}{140}$=$\frac{3}{4}$，…（5分）
至多有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，
則P（A）=P（X=0）+P（X=1）=$\frac{11}{28}+\frac{33}{70}$=$\frac{121}{140}$．…（6分）
（2）ξ的可能取值為0、1、2、3，隨機選取1人是“極幸�！钡母怕蕿镻=$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，
依題意知，隨機變量ξ滿足二項分布ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），
故數(shù)學期望E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．…（10分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要注意二項分布的性質的合理運用．