Question

【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

組別
頻數(shù)	25	150	200	250	225	100	50

（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；

（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；

（ii）每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：

獲贈的隨機話費（單位：元）	20	40
概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學期望.

附：①；

②若，則，，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）P（36＜Z≤79．5）＝0．8186；

（Ⅱ）X的分布列為

X	20	40	60	80
P

X的數(shù)學期望為．

【解析】

（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式求得其平均數(shù)，即正態(tài)分布對應(yīng)的，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，，利用題中所給的數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求得對應(yīng)的概率；

（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各占一半，再結(jié)合得20、40元的概率，分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進而列出分布列，之后應(yīng)用離散型隨機變量的分布列求得其期望.

（Ⅰ）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得

,

又,,

所以P（36＜Z≤79．5）;

（Ⅱ）根據(jù)題意,可以得出所得話費的可能值有元,

得20元的情況為低于平均值,概率,

得40分的情況有一次機會獲40元,2次機會2個20元,概率,

得60分的情況為兩次機會,一次40元一次20元,概率,

得80分的其概況為兩次機會,都是40元,概率為,

所以變量X的分布列為:

X	20	40	60	80
P

所以其期望為.