Question

12．如圖，四棱錐S-ABCD底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，點E是SD的中點，F(xiàn)是BC線段上的點，O是AC與BD的交點．
（Ⅰ）求證：OE∥平面SBC；
（Ⅱ）若F為BC的中點，求二面角C-OE-F的大�。�

Answer 1

分析 （1）線面平行的判定定理即可得到結(jié)論．
（2）建立空間直角坐標系，求出對應平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）連接OE，
則O是BD的中點，
∵E是SD的中點，
∴OE是△BDS的中位線，
∴OE∥SB，
∵OE?平面SBC，SB?平面SBC，
∴OE∥平面SBC；
（Ⅱ）∵四棱錐S-ABCD底面是正方形，SD⊥平面ABCD，
∴建立以D為坐標原點的空間直角坐標系如圖：
若F為BC的中點，
則C（0，2，0），A（2，0，0），O（1，1，0），S（0，0，2），E（0，0，1），B（2，2，0），F(xiàn)（1，2，0），
則$\overrightarrow{OE}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{OF}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（-1，1，0），
設(shè)COE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x-y+z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則x=1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設(shè)OEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=0，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=30°，
∵二面角C-OE-F是銳二面角，
∴二面角C-OE-F的大小為30°．

點評 本題主要考查線面平行的判斷以及二面角的求解，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及建立坐標系，利用向量法求二面角是解決本題的關(guān)鍵．