Question

8．研究某設(shè)備的使用年限x與保養(yǎng)和維修費(fèi)用y之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下

年限x（年）	2	3	4	5	6
保養(yǎng)和維修費(fèi)用y（萬元）	3	3.5	5	6.5	7

由數(shù)據(jù)可知y與x有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，附參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2-n{\overline{x}}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$
（1）將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖：
（2）試預(yù)測第7年的設(shè)備保養(yǎng)和維修費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，描點(diǎn)可得散點(diǎn)圖；
（2）根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程，當(dāng)自變量為7時(shí)，代入線性回歸方程，求出維修費(fèi)用，這是一個(gè)預(yù)報(bào)值

解答 解：（1）由表中的數(shù)據(jù)得到散點(diǎn)圖如下圖所示：

（2）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+4+5+6）=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（3+3.5+5+6.5+7）=5，
$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=2×3+3×3.5+4×5+5×6.5+6×7=111，$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=4+9+16+23+36=90
∴$\hat$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{xy}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{111-5×4×5}{90-5×4×4}$=1.1，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=5-1.1×4=0.6，
∴線性回歸方程$\hat{y}$=1.1x+0.6，
當(dāng)使用年限為7年時(shí)$\hat{y}$=1.1×7+0.6=8.3（萬元）
因此估計(jì)使用年限為7年時(shí)維修費(fèi)用是8.3萬元．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報(bào)值的求法，是一個(gè)新課標(biāo)中出現(xiàn)的新知識點(diǎn)，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過類似的題目．