Question

18．已知x＞0，y＞0，且x+y=1．
（1）證明：$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥9；
（2）求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由乘1法可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$），展開再由基本不等式，即可得證；
（2）由（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，當且僅當a=b取得等號．可得a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，即可得到$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$的最大值．

解答 解：（1）證明：由x＞0，y＞0，且x+y=1，
可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，
當且僅當y=2x=$\frac{2}{3}$取得等號．
故$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥9；
（2）由（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，當且僅當a=b取得等號．
可得a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，
即有$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$≤$\sqrt{2（2x+1+2y+1）}$
=$\sqrt{2（2+2）}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當x=y=$\frac{1}{2}$時，取得最大值，且為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：證明不等式和求最值，注意運用乘1法和不等式a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．