用圖象語言表述 | 用函數(shù)最值表述 | |
在(a,b)內(nèi),若對(duì)任意的x有f(x)>g(x)成立 | ① | ② |
在(a,b)內(nèi),若存在x0,使f(x)>g(x)成立 | ③ | ④ |
分析 (1)由$x∈[\frac{π}{6},\frac{π}{2}]$,可得$(2x+\frac{π}{3})$∈$[\frac{2π}{3},\frac{4π}{3}]$,于是$sin(2x+\frac{π}{3})$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$,因此$\frac{1}{a}$<$-\frac{\sqrt{3}}{2}$,解出即可得出.
(2)不等式x2-2ax+2a+1>0化為a(2-2x)+x2+1>0,由于對(duì)0≤x≤1的所有實(shí)數(shù)x都成立,利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
(3)不等式$f(x)<\frac{1}{2}$,化為u(x)=x2-$\frac{1}{2}$<ax.畫出圖象,即可得出.
(4)分別畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象,即可得出.
解答 解:(1)∵$x∈[\frac{π}{6},\frac{π}{2}]$,∴$(2x+\frac{π}{3})$∈$[\frac{2π}{3},\frac{4π}{3}]$,
∴$sin(2x+\frac{π}{3})$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$,
∴$\frac{1}{a}$<$-\frac{\sqrt{3}}{2}$,
解得$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$<a<0.
∴a的取值范圍是$(-\frac{2\sqrt{3}}{3},0)$.
(2)不等式x2-2ax+2a+1>0化為a(2-2x)+x2+1>0,
∵對(duì)0≤x≤1的所有實(shí)數(shù)x都成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+1>0}\\{2>0}\end{array}\right.$,解得$a>-\frac{1}{2}$.
(3)不等式$f(x)<\frac{1}{2}$,化為u(x)=x2-$\frac{1}{2}$<ax.畫出圖象:當(dāng)1<a時(shí),可得:(-1)2-$\frac{1}{2}$<a-1,解得1<a<2;同理可得:當(dāng)0<a<1時(shí),${1}^{2}-\frac{1}{2}$<a1,解得$\frac{1}{2}<a<1$.
綜上可得a的取值范圍是:$(\frac{1}{2},1)$∪(1,2).
(4)①如圖所示,在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖象在函數(shù)y=g(x)的圖象的上方;
②函數(shù)[f(x)-g(x)]min>0.
③如圖所示,存在x0∈(a,b),使得函數(shù)y=f(x)的圖象在x=x0的點(diǎn)在函數(shù)y=g(x)的圖象中x=x0點(diǎn)的上方;
④存在x0∈(a,b),f(x0)-g(x0)>0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {(1,0)} | B. | {(-1,1)} | C. | {(2,0)} | D. | {(2,1)} |
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