Question

10．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|且|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|＞|m$\overrightarrow$|恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，2]
• B． [-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• C． （-2，2）
• D． （-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 把已知的等式和不等式兩邊平方，得到$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$，且$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ+4|\overrightarrow{|}^{2}＞{m}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}$，兩式聯(lián)立可得${m}^{2}＜6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$，求出$6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}∈[\frac{25}{4}，+∞）$，然后由${m}^{2}＜\frac{25}{4}$求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=θ，
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|，兩邊平方得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$為非零向量，∴$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$  ①，
由|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|＞|m$\overrightarrow$|，得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ+4|\overrightarrow{|}^{2}＞{m}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}$  ②，
把①代入②并整理得：4m²cos²θ＜24cos²θ+1，
當(dāng)cosθ=0時(shí)，上式對任意實(shí)數(shù)m都成立；
當(dāng)cosθ≠0時(shí)，上式化為${m}^{2}＜\frac{24co{s}^{2}θ+1}{4co{s}^{2}θ}=6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$，
∴cos²θ∈（0，1]，∴4cos²θ∈（0，4]，
∴$\frac{1}{4co{s}^{2}θ}∈$[$\frac{1}{4}$，+∞），則$6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}∈[\frac{25}{4}，+∞）$，
則${m}^{2}＜\frac{25}{4}$，∴$-\frac{5}{2}＜m＜\frac{5}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了分離參數(shù)法求解變量的取值范圍，是中檔題．