Question

12．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱D₁D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B₁D₁，BD上的點(diǎn)，且3$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=$\overrightarrow{P{D}_{1}}$，若PQ⊥AE，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{DQ}$，求λ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量表示出向量$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{AE}$，由PQ⊥AE得$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AE}$=0，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{BD}$與$\overrightarrow{DQ}$的關(guān)系，即得λ的值．

解答 解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)D（0，0，0），點(diǎn)A（1，0，0），B（1，1，0），
E（0，0，$\frac{1}{2}$），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1）；
又3$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=$\overrightarrow{P{D}_{1}}$，
∴P（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$，1）；
設(shè)Q（x，x，0），則$\overrightarrow{PQ}$=（x-$\frac{3}{4}$，x-$\frac{3}{4}$，-1），
$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$）；
又PQ⊥AE，∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AE}$=0，
即-（x-$\frac{3}{4}$）-1×$\frac{1}{2}$=0，
解得x=$\frac{1}{4}$，
∴點(diǎn)Q（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，0）；
∴$\overrightarrow{BD}$=-4$\overrightarrow{DQ}$，
∴λ=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量坐標(biāo)表示與數(shù)量積的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，表示出對(duì)應(yīng)的向量，是中檔題目．