分析 根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量表示出向量$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{AE}$,由PQ⊥AE得$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AE}$=0,求出點Q的坐標(biāo),得出$\overrightarrow{BD}$與$\overrightarrow{DQ}$的關(guān)系,即得λ的值.
解答 解:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則點D(0,0,0),點A(1,0,0),B(1,1,0),
E(0,0,$\frac{1}{2}$),D1(0,0,1),B1(1,1,1);
又3$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=$\overrightarrow{P{D}_{1}}$,
∴P($\frac{3}{4}$,$\frac{3}{4}$,1);
設(shè)Q(x,x,0),則$\overrightarrow{PQ}$=(x-$\frac{3}{4}$,x-$\frac{3}{4}$,-1),
$\overrightarrow{AE}$=(-1,0,$\frac{1}{2}$);
又PQ⊥AE,∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AE}$=0,
即-(x-$\frac{3}{4}$)-1×$\frac{1}{2}$=0,
解得x=$\frac{1}{4}$,
∴點Q($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$,0);
∴$\overrightarrow{BD}$=-4$\overrightarrow{DQ}$,
∴λ=-4.
點評 本題考查了空間向量坐標(biāo)表示與數(shù)量積的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,表示出對應(yīng)的向量,是中檔題目.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1+x}{1-x}$ | B. | $\frac{x-1}{x+1}$ | C. | x | D. | -$\frac{1}{x}$ |
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