5.求f(x)=$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$,x∈[0,4]的最大值和最小值.

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求出函數(shù)的最值即可.

解答 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=$\frac{{x}^{2}+1-(x-1)•2x}{({x}^{2}+1)^{2}}$=$\frac{-({x}^{2}-2x-1)}{({x}^{2}+1)^{2}}$,
由f′(x)=0得,x2-2x-1=0,即x=$\frac{2+2\sqrt{2}}{2}$=1+$\sqrt{2}$,或x=1-$\sqrt{2}$,
又x∈[0,4],當(dāng)x∈[0,1+$\sqrt{2}$)時(shí),f′(x)>0,
當(dāng)x∈(1+$\sqrt{2}$,4]時(shí),f′(x)<0,
即當(dāng)x=1+$\sqrt{2}$時(shí),函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值f(1+$\sqrt{2}$)=$\frac{1+\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$,
∵f(0)=-1,f(4)=$\frac{4-1}{16+1}$=$\frac{3}{17}$,
∴f(0)<f(4),
即函數(shù)的最小值為-1,
故函數(shù)的最小值是-1,最大值是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.已知直線方程為x+y+1=0,則該直線的傾斜角為( 。
A.45°B.60°C.90°D.135°

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16.如圖在長(zhǎng)方形ABCD中,$AB=2\sqrt{2}$,AD=2,O為AB的中點(diǎn),若P是線段DO上動(dòng)點(diǎn),則($\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$)•$\overrightarrow{PD}$的最小值是-3.

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13.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( 。
A.y=ln|x|B.y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$C.y=sinxD.y=cosx

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20.函數(shù)y=[x]叫做“取整函數(shù)”,其中符號(hào)[x]表示x的整數(shù)部分,即[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù),例如[2]=2;[2.1]=2;[-2.2]=-3,那么[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]的值為4941.

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10.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,3)作直線l與拋物線y=x2相交于A、B兩點(diǎn).求證:拋物線在A,B兩點(diǎn)的切線交點(diǎn)M在一定直線上.

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17.為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的彈射型氣象儀器,這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測(cè).如圖所示,假設(shè)這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn),在A,B兩地進(jìn)行觀察彈射效果.已知A、B兩地相距100米,∠BAC=60°在A地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比B地晚$\frac{2}{17}$秒(已知聲音在該地的傳播速度為340米/秒),在A地測(cè)得該儀器在C處時(shí)的俯角為15°,A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30°.
(1)求A、C兩地的距離;
(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.

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14.比較下列各組數(shù)的大小
(1)sin16°與sin154°;
(2)cos110°與cos260°;
(3)sin230°與cos170°.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.已知f(x)=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$為奇函數(shù)
(1)求a的值;
(2)求f(-2)的值;
(3)已知f(x)=$\frac{1}{2}$,求x的值.

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