Question

1．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤2}\\{lo{g}_{a}x-\frac{1}{2}，x＞2}\end{array}\right.$的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則f（2$\sqrt{2}$）的取值范圍是[-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先確定x≤2時(shí)函數(shù)值的取值范圍[-1，+∞），問題就等價(jià)為：log_ax-$\frac{1}{2}$的取值至少要包含（-∞，-1），再列式計(jì)算即可．

解答 解：根據(jù)函數(shù)解析式，分類討論如下：
①當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1∈[-1，+∞），
即x≤2時(shí)，函數(shù)值的取值范圍為：[-1，+∞）；
②當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=log_ax-$\frac{1}{2}$，
要使f（x）的值域?yàn)镽，則log_ax-$\frac{1}{2}$的取值至少要包含（-∞，-1），
因此，a∈（0，1），且log_a2-$\frac{1}{2}$≥-1，
即log_a2≥-$\frac{1}{2}$，解得，a∈（0，$\frac{1}{4}$]，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（0，$\frac{1}{4}$]，
而f（2$\sqrt{2}$）=log_a（2$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$=${log}_{a}{2}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}lo{g}_{a}2$-$\frac{1}{2}$，
再結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖象可知，f（2$\sqrt{2}$）的取值范圍為：[-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$），
故答案為：[-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了分段函數(shù)值域的確定，涉及二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．