Question

11．過點(diǎn)A（-4，0）向橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）引兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，若△ABC為正三角形，當(dāng)ab最大時(shí)，橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．

Answer 1

分析 其中一條切線的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4），聯(lián)立方程化簡可得（3b²+a²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0，從而可得a²+3b²=16；利用基本不等式確定最大值即可．

解答 解：由題意，其中一條切線的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
消去y得，3b²x²+a²（x+4）²=3a²b²，
即（3b²+a²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0，
∵△=（8a²）²-4（3b²+a²）（16a²-3a²b²）=0，
∴a²+3b²=16，
∵a²+3b²≥2$\sqrt{3{a}^{2}^{2}}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)a²=3b²，即a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，等號(hào)成立）；
故當(dāng)a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，ab有最大值；
故此時(shí)橢圓的方程為
$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用及基本不等式在求最值時(shí)的應(yīng)用．同時(shí)考查了學(xué)生化簡運(yùn)算的能力．