Question

8．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），則$\frac{1}{c}$+$\frac{9}{a}$的最小值為3；若ax²-4x+c＞0的解集為 （-1，2），則a-c=12．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出ac=4，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出$\frac{1}{c}$+$\frac{9}{a}$的最小值即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-1，2是方程ax²-4x+c=0的解，求出a，c的值即可．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4ac=0}\end{array}\right.$，
解得a＞0，c＞0，ac=4，
∴$\frac{1}{c}$+$\frac{9}{a}$≥2$\sqrt{\frac{9}{ac}}$=2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3，
若ax²-4x+c＞0的解集為 （-1，2），
則-1，2是方程ax²-4x+c=0的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{4a-8+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴a-c=12，
故答案為：3，12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．