Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）當(dāng)PC⊥BD時(shí)，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（2）由PA⊥BD，PA⊥AB，PC⊥BD，得BD⊥平面PAC，從發(fā)明家平行四邊形ABCD是菱形，由此能求出PB的長．

解答 證明：（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，
∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD中點(diǎn)，連結(jié)OE，
在△DPB中，∵E是PD中點(diǎn)，∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，∴PB∥平面AEC．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AB，
∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=$\sqrt{3}$，∴在直角△PAB中，PB=$\sqrt{A{B}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{3+1}$=2．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．