Question

20．將函數(shù)f（x）=sin$\frac{3}{4}$（x-2π）•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}（n=1，2，3…
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）將f（x）的極小值點按從小到大的順序排成數(shù)列{x_n}，x_n＞0，設(shè)數(shù)列b_n=|x_2n-1-x_2n|，（n=1，2，3…），求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和、差的正弦公式化簡可知f（x）=$\frac{1}{4}$sin（3x），進(jìn)而結(jié)合極值的定義可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知x_n=$\frac{4n-1}{6}$π，進(jìn)而可知b_n=$\frac{2}{3}$π，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=sin$\frac{3}{4}$（x-2π）•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x
=（sin$\frac{3}{4}$xcos$\frac{3}{2}$π-cos$\frac{3}{4}$xsin$\frac{3}{2}$π）•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x
=cos$\frac{3}{4}$x•cos$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{3}{4}$x
=$\frac{1}{2}$（2cos$\frac{3}{4}$x•sin$\frac{3}{4}$x）•cos$\frac{3}{2}$x
=$\frac{1}{2}$sin$\frac{3}{2}$x•cos$\frac{3}{2}$x
=$\frac{1}{4}$sin（3x），
令3x=$\frac{1}{2}$π+kπ，解得：x=$\frac{1}{6}$π+$\frac{1}{3}$kπ，
∴函數(shù)f（x）的極值點為x=$\frac{1}{6}$π+$\frac{1}{3}$kπ，
于是a_n=$\frac{2n-1}{6}$π；
（2）由（1）可知x_n=$\frac{4n-1}{6}$π，則b_n=|x_2n-1-x_2n|=$\frac{2}{3}$π，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{2}{3}$nπ．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．