Question

5．已知曲線E₁，E₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ•cos（θ-$\frac{π}{4}$）=4，繞極點將曲線E₁逆時針旋轉(zhuǎn)角α，α∈（0，$\frac{π}{2}$），得到曲線E₃．
（1）當α=$\frac{π}{6}$時，求曲線E₃的極坐標方程；
（2）當E₃與E₂有且僅有一個公共點時，求α．

Answer 1

分析 （1）求出E₁的普通方程，和旋轉(zhuǎn)后的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程；
（2）分別求出E₂，E₃的普通方程，根據(jù)公共點個數(shù)判斷位置關系，列出方程解出a．

解答 解：（1）∵曲線E₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，即ρ²-4ρcosθ=0，
∴曲線E₁的普通方程為x²+y²-4x=0．即（x-2）²+y²=4．
將E₁繞極點逆時針$\frac{π}{6}$后得到E₃，∴E₃的圓心為（$\sqrt{3}$，1），半徑為2．
∴E₃的普通方程為（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4．即x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y=0，
∴E₃的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{3}$ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=4cos（θ-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵E₂的極坐標方程為ρ•cos（θ-$\frac{π}{4}$）=4，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ-4=0，
∴E₂的普通方程為$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-4=0，即x+y-4$\sqrt{2}$=0．
E₃的圓心坐標為（2cosα，2sinα），半徑為2，
∴當E₃與E₂有且僅有一個公共點時，E₂與E₃相切，
∴$\frac{|2cosα+2sinα-4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，∴sinα+cosα=$\sqrt{2}$或sinα+cosα=3$\sqrt{2}$（舍）．
∴兩邊平方得sin2α=1，∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了極坐標方程與普通方程的互化，簡單曲線的極坐標方程，屬于基礎題．